Introdução aos Cortes de Dedekind: Exemplo De Cortes De Dedekind Com Numeros Reais Nao Nulos
Exemplo De Cortes De Dedekind Com Numeros Reais Nao Nulos – Os Cortes de Dedekind oferecem uma construção rigorosa e elegante dos números reais, partindo dos números racionais. Esta construção resolve o problema da incompletude dos racionais, garantindo a existência de limites para sequências convergentes. Através desta abordagem, podemos compreender a natureza contínua da reta real e suas propriedades fundamentais.
Definição Formal de um Corte de Dedekind
Formalmente, um corte de Dedekind é uma partição do conjunto dos números racionais, ℚ, em dois subconjuntos não vazios, A e B, que satisfazem as seguintes condições: (1) A ∪ B = ℚ; (2) A ∩ B = Ø; (3) Todo elemento de A é menor que todo elemento de B; (4) O conjunto A não possui um maior elemento.
Relação entre Cortes de Dedekind e os Números Reais
Cada corte de Dedekind representa um único número real. Números racionais são representados por cortes onde B possui um menor elemento (o próprio número racional). Números irracionais, por sua vez, são representados por cortes onde B não possui um menor elemento, preenchendo as lacunas deixadas pelos racionais.
Construção dos Números Reais a partir dos Cortes de Dedekind
A construção dos números reais a partir dos cortes de Dedekind se baseia na identificação de cada número real com um corte específico. O conjunto de todos os cortes de Dedekind, munido de operações adequadamente definidas (adição e multiplicação), forma um corpo ordenado completo, que é isomorfo ao corpo dos números reais. Este processo garante a existência de todos os números reais, incluindo os irracionais, a partir dos racionais.
Exemplos de Cortes de Dedekind com Números Reais Não-Nulos
Apresentaremos exemplos concretos de cortes de Dedekind para ilustrar sua aplicação na representação de números reais positivos e negativos.
Exemplos com Números Reais Positivos Não-Nulos
| Corte | Número Real Correspondente | Conjunto A (racionais menores) | Conjunto B (racionais maiores) |
|---|---|---|---|
| α1 | 2 | x ∈ ℚ | x < 2 | x ∈ ℚ | x ≥ 2 |
| α2 | 3,5 | x ∈ ℚ | x < 3,5 | x ∈ ℚ | x ≥ 3,5 |
| α3 | √2 (aproximado) | x ∈ ℚ | x² < 2 ou x < 0 | x ∈ ℚ | x² ≥ 2 e x > 0 |
Exemplos com Números Reais Negativos Não-Nulos
Para números reais negativos, a construção é análoga, porém o conjunto B contém os racionais maiores que o número real em questão.
- Corte β 1 representando -2: O conjunto A contém todos os racionais menores que -2, e o conjunto B contém todos os racionais maiores ou iguais a -2.
- Corte β 2 representando -√3 (aproximado): O conjunto A contém todos os racionais menores que -√3, e o conjunto B contém todos os racionais maiores ou iguais a -√3.
Comparação entre Cortes que Representam Números Positivos e Negativos
A principal diferença reside na posição dos conjuntos A e B em relação a zero. Para números positivos, B contém os racionais maiores ou iguais ao número representado, enquanto para números negativos, B contém os racionais maiores ou iguais ao número representado (que são menores que zero).
Operações com Cortes de Dedekind
As operações aritméticas com cortes de Dedekind são definidas de forma a preservar as propriedades algébricas dos números reais. A seguir, demonstramos a adição e multiplicação.
Adição de Cortes de Dedekind
Sejam α e β dois cortes de Dedekind representados pelos pares (A α, B α) e (A β, B β) respectivamente. A soma α + β é definida como o corte (A α+β, B α+β), onde A α+β = x ∈ ℚ | x = a + b, a ∈ A α, b ∈ A β e B α+β é o complementar de A α+β em ℚ.
Por exemplo, a soma do corte que representa 2 e o corte que representa 3 resulta no corte que representa 5.
Multiplicação de Cortes de Dedekind
A multiplicação de cortes de Dedekind é mais complexa, dependendo dos sinais dos números representados. Para cortes positivos, a multiplicação é definida de forma análoga à adição. Para cortes negativos, a definição envolve a consideração dos sinais e a ordem dos conjuntos A e B. Por exemplo, a multiplicação do corte que representa 2 pelo corte que representa 3 resulta no corte que representa 6.
Inverso Multiplicativo de um Corte de Dedekind
O inverso multiplicativo de um corte de Dedekind α (representando um número real não nulo) é o corte β tal que α
– β = 1. A construção deste inverso depende do sinal de α, e envolve a manipulação dos conjuntos A e B de α para definir os conjuntos A e B de β. Para o corte que representa 2, o inverso é o corte que representa 1/2.
Cortes de Dedekind e a Propriedade da Densidade
A propriedade da densidade dos números reais, ou seja, a existência de um número real entre quaisquer dois números reais distintos, é uma consequência direta da construção dos números reais via cortes de Dedekind.
Demonstração da Densidade Usando Cortes de Dedekind, Exemplo De Cortes De Dedekind Com Numeros Reais Nao Nulos
Dados dois cortes de Dedekind distintos α e β, podemos sempre construir um novo corte γ que se encontra entre α e β. Isso é feito selecionando um racional entre um elemento de A α e um elemento de B α (ou vice-versa, dependendo da ordem entre α e β). Este racional define um novo corte que se encontra entre α e β, demonstrando a densidade.
Encontrando um Corte entre Dois Cortes Dados
Para encontrar um corte entre dois cortes α e β, basta encontrar um número racional r tal que um elemento de A α < r < um elemento de Bβ (ou vice-versa, dependendo da ordem). Este racional r define um novo corte γ, situado entre α e β.
Relação entre a Densidade e a Completude
A densidade dos números reais é uma propriedade fundamental, mas não implica em completude. A completude, garantida pela construção de Dedekind, afirma que todo subconjunto não vazio e limitado superiormente de números reais possui um supremo. A densidade assegura a existência de um número entre quaisquer dois, enquanto a completude garante a existência de limites superiores.
Representação Gráfica de Cortes de Dedekind
A visualização gráfica auxilia na compreensão intuitiva dos cortes de Dedekind.
Representação Gráfica em uma Reta Numérica
Um corte de Dedekind pode ser representado graficamente numa reta numérica, dividindo-a em dois conjuntos, A e B. O conjunto A é representado pelos pontos à esquerda do número real correspondente ao corte, e o conjunto B pelos pontos à direita ou no próprio ponto (dependendo se o número é racional ou irracional). A fronteira entre A e B representa o número real.
Representação Gráfica do Corte que Representa √2
O corte que representa √2 divide a reta numérica em dois conjuntos: A, contendo todos os racionais cujo quadrado é menor que 2, e B, contendo todos os racionais cujo quadrado é maior ou igual a 2. O conjunto A não possui um maior elemento, e o conjunto B não possui um menor elemento. A fronteira entre A e B, na reta numérica, representa o número irracional √2. A representação visual destaca a “lacuna” preenchida por √2 na reta dos racionais.
Ao concluir nossa exploração dos cortes de Dedekind com números reais não-nulos, fica evidente a elegância e o poder dessa construção. A capacidade de representar todos os números reais, incluindo os irracionais, através de conjuntos de números racionais, é uma demonstração brilhante da capacidade da matemática de construir estruturas complexas a partir de fundamentos mais simples. A visualização gráfica, combinada com as operações definidas, proporciona uma compreensão profunda e intuitiva do sistema numérico real.
Esperamos que esta jornada tenha esclarecido a beleza e a importância dos cortes de Dedekind, estimulando a exploração mais aprofundada deste tema crucial na matemática.